Model matematika penyebaran penyakit SIR (Susceptible-Infected-Recovered) adalah salah satu model yang umum digunakan untuk memodelkan dan memahami bagaimana penyakit menyebar dalam populasi. Model ini mengidentifikasi tiga kelompok utama individu dalam populasi: yang rentan terhadap infeksi (S, susceptible), yang terinfeksi (I, infected), dan yang pulih atau menjadi imun terhadap infeksi (R, recovered).
Model ini didasarkan pada beberapa asumsi dasar:
Populasi tetap: Model SIR diasumsikan bahwa ukuran populasi tetap sepanjang waktu, tidak ada kelahiran baru atau kematian akibat penyakit.
Kontak acak: Individu dalam populasi memiliki kesempatan yang sama untuk berinteraksi dan bersentuhan dengan individu lainnya. Tidak ada struktur jaringan sosial yang spesifik yang diperhitungkan.
Penularan hanya dari orang terinfeksi: Penyakit hanya dapat ditularkan dari orang yang sudah terinfeksi ke individu yang rentan. Tidak ada faktor eksternal seperti vektor penyakit yang dipertimbangkan.
Model SIR menggunakan sistem persamaan diferensial untuk menggambarkan perubahan jumlah individu dalam setiap kelompok selama waktu tertentu. Berikut adalah model matematikanya:
Persamaan Susceptible (Rentan):
(\frac{{dS}}{{dt}} = -\beta \cdot \frac{{SI}}{{N}})
di mana:
(S) adalah jumlah individu rentan
(t) adalah waktu
https://latex.codecogs.com/svg.image?(\beta) adalah laju penularan penyakit
(I) adalah jumlah individu terinfeksi
(N) adalah total populasi
Persamaan Infected (Terinfeksi):
di mana:
(I) adalah jumlah individu terinfeksi
https://latex.codecogs.com/svg.image?\gamma adalah laju pulih atau menjadi imun terhadap infeksi
Persamaan Recovered (Pulih / Imun):
https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{{dR}}{{dt}} = \gamma \cdot I)
di mana:
(R) adalah jumlah individu pulih atau menjadi imun terhadap infeksi
Dalam model ini, parameter (\beta) menggambarkan tingkat penularan penyakit dari individu terinfeksi ke individu rentan, sedangkan parameter (\gamma) menggambarkan laju kesembuhan atau akuisisi kekebalan.
Model SIR memungkinkan kita untuk memprediksi dan memahami bagaimana jumlah individu dalam setiap kelompok akan berubah seiring waktu, serta melihat dampak tindakan pencegahan seperti vaksinasi atau isolasi pada penyebaran penyakit.
Namun, penting untuk diingat bahwa model ini memiliki asumsi yang sederhana dan beberapa faktor seperti perubahan perilaku, interaksi sosial, dan variabilitas dalam tingkat penularan belum sepenuhnya diperhitungkan. Oleh karena itu, penggunaan model ini harus dipertimbangkan dengan hati-hati dan disesuaikan dengan kondisi khusus dari penyakit yang sedang dipelajari.